Давайте попробуем решить довольно простое, на первый взгляд, уравнение с модулем икс. Для его решения, вроде бы, не нужно ничего знать, кроме алгебры: 2х — |х| = -1
Если убрать модуль х из уравнения
Что будет, если приведенного уравнения убрать х по модулю, то есть если заменить |х| просто на х? Тогда уравнение с модулем икс можно решить в уме, не прибегая к сложным выкладкам:
2х — х = х = -1. Очевидно, что х = -1.
Но знак модуля |х| нам все портит. И значение х = -1 не является решением первоначального уравнения, так как
2 * (-1) — |-1| = -2 — 1 = -3. Но никак не -1 !!!
Как решить уравнение с модулем икс
Давайте вместе с алгеброй применим логику. Логика позволяет нам делать некоторые предположения. Применительно к первоначальному уравнению, сделаем сразу 3 логических допущения.
1. Предположим, что х=0.
2. Допустим, что х>0.
3. Предположим, что х<0.
Этими тремя предположениями мы «перекрыли» весь диапазон возможных значений икс х, которые могут стать решением данного уравнения, так ведь? Значение х может быть нулевым, положительным или отрицательным.
Теперь давайте проверим каждое сделанное предположение. Выполним своеобразную «проверку гипотез» о том, что х может быть нулевым, положительным или отрицательным.
Икс равен нулю
Проверим первое предположение, что икс равен нулю (х=0):
2 * 0 — |0| = 0 — 0 = 0, но никак не -1, как записано в исходном уравнении.
Значит, первая гипотеза о том, что х = 0 оказывается не верна, поэтому отбросим ее.
Если в уравнении икс положительный
Проверим вторую гипотезу о том, что х является числом положительным. Тогда можно избавиться от знака модуля в исходном уравнении. Ведь если х является положительным числом, то |х| = х. Это очевидно, не так ли?!
Получим уравнение без знака модуля:
2х — |х| = 2х — х = х = -1
Итак, в результате решения нового уравнения, когда знак модуля был отброшен, получили ответ х = -1.
Однако в начале этой статьи мы получали такой же ответ, который не «проходил» элементарную проверку путем подстановки -1 в уравнение вместо х. Что не так?
Почему в результате решения уравнения мы получили х = -1, но проверка показывает неверный результат? Дело в том, что мы нарушили нашу собственную логику.
Второе предположение состояло в том, что значение х должно быть положительным (х>0). Но в результате подстановки положительного значения х в уравнение после его решения мы получили отрицательное значение х = -1.
А раз логика нарушена, значит наше предположение о том, что х является положительным числом НЕ ВЕРНО. Мы должны отбросить второе наше предположение, что х>0 так же, как мы отбросили первое предположение, что х=0.
Икс в уравнении отрицательный
Что же у нас остается? Остается третье логическое предположение, что значение х отрицательное (х<0). Давайте попробуем решить исходное уравнение при данном логическом предположении.
Итак, если х<0, то |х| = -х — это факт. Подставим в наше уравнение с модулем икс вместо |х| значение (-х). Тогда получим следующее:
2х — |х| = 2х — (-х) = 2х + х = 3х = -1.
Решаем полученное уравнение:
3х = -1, что означает х = -1/3.
Получается, если предположить, что х<0, решением уравнения будет значение х = -1/3, то есть отрицательное число «одна треть». Логика соблюдена? Да, конечно: мы предположили, мы построили гипотезу, что х<0, и в результате получили х = -1/3, мы получили отрицательное число, как и предположили. Значит, мы, действуя логически, наконец, решили уравнение.
Наше решение: х = -1/3.
Давайте на всякий случай проверим, действительно ли мы правы, решая исходное уравнение таким «замысловатым» логическим способом, делая предположения, гипотезы и затем их проверяя на логическую непротиворечивость:
2 * (-1/3) — |-1/3| = -2/3 — 1/3 = -3/3 = -1, что и требовалось получить в конечном итоге!
Итак, решением уравнения с модулем икс:
2х — |х| = -1
является значение х = -1/3.
Вот что значит действовать логически при решении уравнения: делать логические предположения, далее пытаться решить уравнение на основе сделанных логических предположений. И в конце, после даже кажущегося удачного решения уравнения, проверять логическую непротиворечивость сделанных гипотез.
И тогда можно решать не только данное уравнение, являющееся не таким уж сложным, но и находить решения других более сложных задач.
Проверка гипотез в других областях
Метод проверки гипотез работает не только в математике, алгебре, но и в других науках. Даже в гуманитарных дисциплинах применяют методы проверки гипотез. Скажем, в управлении, в менеджменте.
Допустим, на заводе выпускается продукция, но по какой-то неясной причине некоторые производимые изделия стали бракованными. В чем проблема? Менеджеры начинают строить гипотезы: оборудование износилось и требует ремонта, сырье привезли уже бракованное, рабочий на линии перестал соблюдать установленные требования и так далее.
Может быть даже построено «дерево возможных причин». Оно визуально выглядит, не как дерево с разветвляющимися ветками, а как скелет рыбы, лежащий на боку, где на конце каждой косточки надписана та или иная гипотеза, предположение, почему стали выпускать бракованную продукцию. Подобная схема имеет несколько вполне официальных, признанных наукой названий: «рыбная кость», «рыба Исикавы» (по фамилии ее изобретателя из Японии) и другие.
И затем, «косточка за косточкой», гипотеза за гипотезой, последовательно проверяя их все, менеджеры находят одну или сразу несколько причин возникшей проблемы.
Так что проверка гипотез, логический подход к решению задач, на самом деле, широко распространен в наше время. Изучение этого подхода на простых алгебраических уравнениях, на самом деле, очень полезно, поскольку логика таких решений, возможно, нам всем потребуется в дальнейшей работе и жизни. Причем, совершенно не обязательно, что мы будем решать уравнения, а не заниматься другими делами, скажем, управлением производством или обслуживанием.
«Математика уж тем хороша, что она ум в порядок приводит» — М.В.Ломоносов. Лучше не скажешь, особенно применительно к решению логических задач, так как логика очень часто нужна в повседневной жизни в работе.
